《中考数学核心考点强化突破（全国通用）》专题七 几何综合应用(解析版)

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专题七　几何综合应用
类型 1　以三角形为背景 的计算和证明问题
1．如图，一条 4 m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道
路的占地面积为____ m2.
【解析】如图，作 DE⊥AC 于点 E，
可证△DAE∽△ACB∴＝.即：＝解得：AB＝16(m)，∴道路的面积为 AD×AB＝5×16＝80(m2)．
2．在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边 AB，AC 的中点．若等腰 Rt△ADE 绕点 A逆
时针旋转，得到等腰 Rt△AD1E1，设旋转角为 α(0＜α≤180° )，记直线 BD1与CE1的交点为 P.
(1)如图 1，当 α＝90°时，线段 BD1的长等于__2__；(直接填写结果)
(2)如图 2，当 α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且 BD1⊥CE1；
(3)求点 P到AB 所在直线的距离的最大值．(直接写出结果)[来源:学_科_网]
解：(2)证明：当 α＝135°时，由旋转可知∠D1AB＝∠E1AC＝135°.又∵AB＝AC，AD1＝AE1，∴△D1A B
≌△E1AC.∴BD1＝CE1且∠D1BA＝∠E1CA.设直线 BD1与AC 交于点 F，有∠BFA＝∠CFP，∴∠CPF＝∠FAB
＝90°.∴BD1⊥CE1.
(3)1＋(四边形 AD1PE1为正方形时，距离最大，此时 PD1＝2，PB＝2＋2)．
1
3．如图，已知△ABC 中AB＝AC＝12 厘米，BC＝9厘米，点 D为AB 的中点．
(1)如果点 P在线段 BC 上以 3厘米/秒的速度由 B点向 C点运动，同时，点 Q在线 段 CA 上由 C点向 A
点运动．
①若点P点Q的运动速度相等，经过 1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
②若点P点Q的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
(2)若点 Q以②中的运动速度从点C出发，点 P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿△AB
C三边运动，求经过多长时间，点 P与点 Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？[来源:Zxxk.Com]
解：(1)①∵t＝1(秒)，∴BP＝CQ＝3(厘米)
∵AB＝12，D为AB 中点，∴BD＝6 (厘米)
又∵PC＝BC－BP＝9－3＝6(厘米)
∴PC＝BD∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD 与△CQP 中，，∴△BPD≌△CQP(SAS)，②∵VP≠VQ，
∴BP≠CQ，又∵∠B＝∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能 BP＝CP＝4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ＝BD＝
6.∴点 P的运动时间 t＝＝＝1.5(秒)，此时 VQ＝＝＝4(厘米/秒)；(2)因为 VQ＞VP，只能是点 Q追上点 P，即
点Q比点 P多走 AB＋AC 的路程，设经过 x秒后 P与Q第一次相遇，依题意得 4x＝3x＋2×12，解得 x＝2
4(秒)，此时 P运动了 24×3＝72(厘米)[来源:学科网]
又∵△ABC 的周长为 33 厘米，72＝33×2＋6，∴点 P、Q在BC 边上相遇，即经过 24 秒，点 P与点 Q
第一次在 BC 边上相遇．
[来源:学_科_网]
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