《中考数学一轮复习》专题16角平分线与线段的垂直平分线（知识点总结+例题讲解）

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2021 年中考数学 专题 16 角平分线与线段的垂直平分线
（知识点总结+例题讲解）
一、角平分线：
1.角的平分线定义：
（1）从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 ；
如图，因为 AD 是∠BAC 的平分线，所以∠1=∠2=
1
2
∠BAC；
（2）类似地，还有角的三等分线等。
2.角平分线的作法(尺规作图)：
（1）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D 两点；
（2）分别以 C、D 为圆心，大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P；
（3）过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求。
3.角平分线的性质：
（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP 平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP
（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点 P 在∠AOB 的平分线上。
1
（3）三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与
交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
① 三角形的角平分线是线段；
② 一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
③ 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
④ 可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。
4.角平分线的综合应用：
（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；
（2）在解决综合问题中的应用。
【例题 1】 (2020• 乐 山 ) 如 图 ， E 是 直 线 CA 上一点，∠ FEA ＝ 40°，射线 EB 平 分
∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝(　　)
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】根据平角的定义得到∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，由角平分
线的定义可得
∠CEB=1
2
∠CEF=1
2
×140°=70°
，由 GE⊥EF 可得∠GEF＝90°，可得
∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，由∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG
可得结果．
解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，
∴∠CEF ＝ 180°﹣∠FEA ＝ 180°﹣40° ＝ 140° ， ∠ CEG ＝ 180°﹣∠AEF﹣∠GEF ＝
180°﹣40°﹣90°＝50°，
2
∵射线 EB 平分∠CEF，
∴
∠CEB=1
2
∠CEF=1
2
×140°=70°
，
∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°。
【变式练习 1】如图，在∆ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，过点 D 作 DEAB 于点 E，
测得 BC=9，BE=3，则∆BDE 的周长是( )
A.15 B.12 C.9 D.6
【答案】B
【解析】在△ABC 中，∠C=90°，∴AC⊥CD．
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD．
∵BC=9，BE=3，
∴△BDE 的周长为 BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12。
二、线段的垂直平分线：
1.线段的垂直平分线定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段
的中垂线；
2.线段垂直平分线的做法：求作线段 AB 的垂直平分线；
（1）分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB/2 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；
说明：作弧时的半径必须大于 AB/2 的长，否则就不能得到两弧的交点了；
3
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