专题14圆与相似三角函数综合问题-2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（原卷版）

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2021

新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题 14 圆与相似三角函数综合问题

【例 1】（2020•绵阳）如图，△ABC 内接于⊙O，点 D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD 交⊙O于点 E，交

AC 于点 F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．

（1）求证：AB∥CD；

（2）求证：CD 是⊙O的切线；

（3）求 tan∠ACB 的值．

【例 2】（2020•淄博）如图，△ABC 内接于⊙O，AD 平分∠BAC 交BC 边于点 E，交⊙O于点 D，过点 A

作AF⊥BC 于点 F，设⊙O的半径为 R，AF＝h．

（1）过点 D作直线 MN∥BC，求证：MN 是⊙O的切线；

（2）求证：AB•AC＝2R•h；

（3）设∠BAC＝2α，求

AB +AC

的值（用含 α的代数式表示）．

【例 3】（2020•恩施州）如图 1，AB 是⊙O的直径，直线 AM 与⊙O相切于点 A，直线 BN 与⊙O相切于点

B，点 C（异于点 A）在 AM 上，点 D在⊙O上，且 CD＝CA，延长 CD 与BN 相交于点 E，连接 AD 并延

长交 BN 于点 F．

（1）求证：CE 是⊙O的切线；

（2）求证：BE＝EF；

（3）如图 2，连接 EO 并延长与⊙O分别相交于点 G、H，连接 BH．若 AB＝6，AC＝4，求 tan∠BHE．

【例 4】（2020•孝感）已知△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC 的平分线与⊙O交于点 D，与 AC 交于点

E，连接 CD 并延长与⊙O过点 A的切线交于点 F，记∠BAC＝α．

（1）如图 1，若 α＝60°，

①直接写出

的值为　　；

②当⊙O的半径为 2时，直接写出图中阴影部分的面积为　　；

（2）如图 2，若 α＜60°，且

，DE＝4，求 BE 的长．

【例 5】（ 2020• 鄂州）如图所示：⊙O与 △ ABC 的边 BC 相切于点 C，与 AC 、AB 分别交于点

D、E，DE∥OB．DC 是⊙O的直径．连接 OE，过 C作CG∥OE 交⊙O于G，连接 DG、EC，DG 与EC

交于点 F．

（1）求证：直线 AB 与⊙O相切；

（2）求证：AE•ED＝AC•EF；

（3）若 EF＝3，tan∠ACE

¿1

时，过 A作AN∥CE 交⊙O于M、N两点（M在线段 AN 上），求 AN 的长．

【例 6】（2020•长沙）如图，半径为 4的⊙O中，弦 AB 的长度为 4

√

，点 C是劣弧

上的一个动点，点

D是弦 AC 的中点，点 E是弦 BC 的中点，连接 DE、OD、OE．

（1）求∠AOB 的度数；

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