专题21 平行四边形与特殊平行四边形存在性问题【考点精讲】（解析版）-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）

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若E为x轴上的一个动点,F为抛物线上的一个动点,使B,D,E,F构成平行四边形时,求出点 E的坐标.

以其中一个已知点(如:点B)作为起点，列出所有对角线的情况(如:BD,BE,BF),分别设出两个动点(点E,点F),运用中点坐标公式,

求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标,注意到两个中点重合,其坐标对应相等,列出方程组,求解即可.

题型一：平行四边形存在性问题

【例 1】（2021·湖南）将抛物线向左平移 1个单位，再向上平移 4个单位后，得到抛物线

．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上

的一个动点．

题型精讲

专题 21 平行四边形与特殊平行四边形存在性问题

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( 0)y ax a 

: ( )H y a x h k  

( 3,0)A

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图 1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，

交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；

（3）如图 2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，

，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或

．

【分析】

（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点 A的坐标代入求解即可；

（2）由（1）及题意易得，则有△AOC 是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线 AC

的解析式为，设点，则，然后可得△AED 和△PEF 都为等腰直角三

角形，过点 F作FT⊥PD 于点，则有，由三角形面积公式可得，要使

面积最大则 PE 的值为最大即可，最后问题可求解；

（3）由题意可知当以点 A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当以 AC 为平行四边形的

边时，②当以 AC 为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公

式分类进行求解即可．

【详解】

解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：

，

解得：，

∴抛物线的表达式为，即为；

PD AB

PF AC

PEF

2 3y x x   

PEF

 

4, 5 

( )

2, 5-

 

2,3

 

1 4y a x  

 

0,3C

3y x= +

 

, 2 3P a a a  

 

, 3E a a 

FT PE2

1 1

2 4

PEF

S PE FT PE  



 

1 4y a x  

 

3 0A,

 

3 1 4 0a   

1a 

 

1 4y x   

2 3y x x   

（2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有，

∴，

∴△AOC 是等腰直角三角形，

∴∠CAO=∠ACO=45°，

∵，

∴∠AED=∠CAO=45°，

∴∠AED=∠PEF=45°，

∵，

∴△PEF 是等腰直角三角形，

过点 F作FT⊥PD 于点，如图所示：

∴，

∴要使面积最大则 PE 的值为最大即可，

设直线 AC 的解析式为，代入点 A、C的坐标得：，

2 3y x x   

 

0,3C

3OA OC 

PD AB

PF AC

FT PE

1 1

2 4

PEF

S PE FT PE  



y kx b 

3 0

k b

  







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