专题12 几何模型（2）—半角模型（解析版）-备战2022年中考数学二轮专题归纳提升

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专题 12 几何模型（2）—半角模型
【模型介绍】
半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD 等于大角∠BAC 的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【解题关键】
旋转目标三角形法和翻折目标三角形法
【典型例题】
【题型一：等边直角三角形中的半角模型】
【模型】如图，△BDC 为等腰三角形且∠BDC=120°，M和N分别是 AB 和AC 上的两个点，
且∠MDN=60°，△ABC 为等边三角形。
【结论】结论①： MN=BM+CN；
证明：如下图 1，延长 AB 到H点，并使得 BH=CN，连接 DH，
∵△BCD 为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°=∠ACD，
即∠HBD=∠NCD=90°，
在△HBD 和△NCD中：
{
¿BH =CN
¿∠HBD=∠NCD=9 0∘
¿DB=DC
∴△HBD≌△NCD(SAS)，
∴DH=DN，∠HDB=∠CDN，
又∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
即∠BDM+∠HDB=60°，
∴∠HDM=∠NDM=60°，
在△HDM 和△NDM 中：
{
¿HD=DN
¿∠HDM =∠NDM=6 0∘
¿MD=MD
∴△HDM≌△NDM(SAS)，
∴MN=MH=MB+BH=MB+CN。
证明完毕！
结论②：如上图 1中：△AMN 的周长=2 倍等边△ABC 的边长；
或者说成：3倍△AMN 的周长=2 倍等边三角形的周长。
证明：由结论①知：MN=MB+CN，
CΔAMN =AM +AN +MN =¿
AM +AN +(MB +CN )=¿
(AM +MB)+( AN +NC )
【例】如图，
△ABC
是边长为 2的等边三角形，
△BDC
是顶角为 120°的等腰三角形，以
点
D
为顶点作
∠MDN=60 °
，点
M
、
N
分别在
AB
、
AC
上．
（1）如图①，当
MN // BC
时，则
△AMN
的周长为______；
（2）如图②，求证：
BM +NC=MN
．
【答案】（1）4；
（2）证明见解析
【解析】解：（1）∵
△ABC
是等边三角形，
MN // BC
，
∴∠AMN=∠ABC=60°，∠ANM=∠ACB=60°
∴
△AMN
是等边三角形，
∴AM =AN
，则
BM =NC
，
∵
△BDC
是顶角
∠BDC=120 °
的等腰三角形，
∴∠ DBC=∠DCB=30°
，
∴∠DBM=∠DCN=90°
在
△BDM
和
△CDN
中，
{
BM =CN ,
∠MBD=∠DCN ,
BD=CD ,
∴△BDM≌△CDN（SAS）
∴DM =DN
，∠BDM=∠CDN，
∵
∠MDN =60 °
，
∴
△DMN
是等边三角形，∠BDM=∠CDN
¿30 °
，
∴NC=BM=
1
2
DM=
1
2MN
∴MN=MB+NC，
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