专题03“瓜豆原理”模型解决动点路径问题（解析版）-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）

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初中数学有一类动态问题叫做主从联动，我们叫它瓜豆原理，即“种瓜得瓜，种豆得

豆”，主动点运动的轨迹是什么，则从动点的轨迹就是什么。

这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主

动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题，但在解答问题时，要符合解不超

纲的原则，所以最后解决问题还是用到了旋转相似的知识，也就是动态手拉手模型，整理一

些题目来集中训练一下这类题目。

涉及的知识和方法：

知识：①相似； ②三角形的两边之和大于第三边；

③点到直线之间的距离垂线段最短；

④点到圆上点共线有最值。

方法：

第一步：找主动点的轨迹；第二步：找从动点与主动点的关系；

第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，

第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值

在此类题目中，题目或许先描述的是主动点 P，但最终问题问的可以是另一点 Q

（从动

点）

，根据 P、Q之间存在某种联系，从 P点出发探讨 Q点运动轨迹并求出最值。

一、轨迹之圆篇

【经典剖析1】如图，P是圆 O上一个动点，A为定点，连接 AP，Q为AP 中点．

考虑：当点 P在圆 O上运动时，Q点轨迹是？

分析：观察动图可知点 Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆 O有什么关系？

考虑到 Q点始终为 AP 中点，连接 AO，取 AO 中点 M，则 M点即为 Q点轨迹圆圆心，半径 MQ 是OP 一

半，任意时刻，均有△AMQ AOP∽△ ，QM:PO=AQ:AP=1:2．

结论：确定 Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由 A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，

由Q为AP 中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是 P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关

系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

【经典剖析2】如图，P是圆 O上一个动点，A为定点，连接 AP，作 AQ AP⊥且AQ=AP．

考虑：当点 P在圆 O上运动时，Q点轨迹是？

分析：Q点轨迹是个圆，可理解为将 AP 绕点 A逆时针旋转 90°得AQ，故 Q点轨迹与 P点轨迹都是圆．

接下来确定圆心与半径．考虑 AP AQ⊥，可得 Q点轨迹圆圆心 M满足 AM AO⊥；考虑 AP=AQ，可得 Q

点轨迹圆圆心 M满足 AM=AO ，且可得半径 MQ=PO ．即可确定圆 M位置，任意时刻均有

△APO AQM≌△ ．

【经典剖析3】如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当 P在圆 O运动时，Q点轨迹是？

分析考虑 AP AQ⊥，可得 Q点轨迹圆圆心 M满足 AM AO⊥；考虑 AP:AQ=2:1，可得 Q点轨迹圆圆心 M

满足 AO:AM=2:1．即可确定圆 M位置，任意时刻均有△APO AQM∽△ ，且相似比为 2．

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