专题02二次函数与角的综合问题 -【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）（解析版）

3.0 envi 2025-03-10 19 4 1.77MB 60 页 3知币
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【经典剖析1】（2018•福建）已知抛物线 过点 ．
（1）若点 ， 也在该抛物线上，求 ， 满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点 ， ， ， 都满足：当 时，
；当 时， ．以原点 为心， 为半径的
圆与抛物线的另两个交点为 ， ，且 有一个内角为 ．
① 求抛物线的解析式；
② 若点 与点 关于点 对称，且 ， ， 三点共线，求证： 平分 ．
【分析】（1）由抛物线经过点 可求出 ，再代入 ， 即可找出
；
（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为 轴、开口向下，进而可得出 ，
由抛物线的对称性可得出 为等腰三角形，结合其有一个 的内角可得出 为
等边三角形，设线段 与 轴交于点 ，根据等边三角形的性质可得出点 的坐标，再
利用待定系数法可求出 值，此题得解；
② 由①的结论可得出点 的坐标为 ， 、点 的坐标为 ， ，由 、
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、 三点共线可得出 ，进而可得出点 及点 的坐标，由点 、 的坐标利
用待定系数法可求出直线 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 在
直线 上，进而即可证出 平分 ．
【解答】解：（1） 抛物线 过点 ，
．
又 点 ， 也在该抛物线上，
，
．
（2）① 当 时， ，
， ，
当 时， 随 的增大而增大；
同理：当 时， 随 的增大而减小，
抛物线的对称轴为 轴，开口向下，
．
为半径的圆与抛物线的另两个交点为 、 ，
为等腰三角形，
又 有一个内角为 ，
为等边三角形．
设线段 与 轴交于点 ，则 ，且 ，
又 ，
， ．
不妨设点 在 轴右侧，则点 的坐标为 ， ．
点 在抛物线上，且 ， ，
，
，
抛物线的解析式为 ．
② 证明：由①可知，点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ．
直线 的解析式为 ．
、 、 三点共线，
， ，且 ，
，
，
，即 ，
点 的坐标为 ， ．
设点 关于 轴的对称点为点 ，则点 的坐标为 ， ．
点 是点 关于点 的对称点，
，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
点 的坐标为 ， ，
，
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