第4.4讲 等腰三角形与直角三角形-【聚焦中考】备战2022年中考数学专题复习满分攻略讲义(全国通用)(解析版)

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2022 年中考数学专题复习
第4.4 讲 等腰三角形与直角三角形
★★★知识梳理★★★
知识点一、等腰三角形
1．定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形．
2．等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两腰所对的两个底角相等，简称为“等腰对等角”；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合，简称为“三线合一 ”；
（3）一般等腰三角形是轴对称图形，它有 1 条对称轴，对称轴是底边上的中线（顶角平
分线、底边上的高）所在直线；
（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等；
（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半；
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边．
3．等腰三角形的判定：
（1）定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形 ；
（2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称为“ 等角对等边 ” ；
（3）顶角的平分线、底边上的中分线、底边上的高的重合的三角形是等腰三角形.
知识点二、等边三角形
1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形.
2．等边三角形的性质：
（1）等边三角形的每个内角都相等，都等于 60° ；
温馨提醒：
（1）在处理等腰三角形的周长、角度问题时，需注意三角形三边关系及分类讨论.
（2）逆向运用等腰三角形“三线合一”的性质也可以判定三角形是等腰三角形（需说
明）
①一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形；
②一边上的高线与这边所对的角平分线重合的三角形是等腰三角形；
③一边上的中线与这边所对的角平分线重合的三角形是等腰三角形.
（2）等边三角形是轴 对称 图形，它有 3 条对称轴．
（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.
3．等边三角形的判定：
（1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）判定定理：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.
知识点三、直角三角形
1．定义：有一个角等于 90°的三角形叫做直角三角形.
2．直角三角形的性质：
（1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半；
（4）勾股定理：如果直角三角形两直角边为 a、b，斜边为 c，那么 a 2
＋ b 2
＝ c 2
．
3．直角三角形的判定：
（1）定义法：有一个角等于 90°的三角形叫做直角三角形；
（2）判定定理：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；
（3）勾股定理逆定理：如果三角形的三边 a、b、c满足 a 2
＋ b 2
＝ c 2
，那么这个三角形是
直角三角形；
（4）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（需
证明）
知识点四、等腰直角三角形
1．等腰直角三角形的性质：
（1）两直角边相等；
（2）两锐角相等且都等于 45°；
（3）斜边中线将三角形分为两个全等的等腰直角三角形；
温馨提醒：
（1）直角三角形的性质在四边形、相似图形、圆中有广泛应用，要熟练掌握并灵活运
用；
（2）常见的几组勾股数：
3、4、5，6、8、10，5、12、13，8、15、17，7、24、25；
（3）与直角三角形三边相连的正多边形（等边三角形、正方形…），圆（半圆）都具
（4）等腰直角三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴，对称轴是底边上的中线（顶角平分
线、底边上的高）所在直线；
（5）等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形
（两条直角边相等），具有等腰三角形和直角三角形的所有性质.
2．等腰直角三角形的判定：
（1）有一个角等于 90°的等腰三角形是等腰直角三角形；
（2）有两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形；
（3）有一个角等于 45°的直角三角形是等腰直角三角形；
（4）有两个角等于 45°的三角形是等腰直角三角形.
知识点五、常见的几种特殊三角形
类别 三边比 面积（a为腰）
60°60°60°
1:1:1
2
4
3a
45°45°90°
2:1:1
2
2
1a
30°60°90°
30°30°120°
3:1:1
2
4
3a
36°36°108°
2
15
:1:1
72°72°36°
2
15
:1:1
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