河南省许昌高级中学2024-2025学年高二上学期8月月考试题 数学 Word版含解析

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2024-2025 学年高二上学期 7 月暑期检测
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共 8小题，每小题 5分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知 ，则 （）
A．B．C．D．
2．已知三棱锥 中， ， ， ，E，F分别是 PA，BC 的中点，则 EF 与AB 所成的角
大小为（）
A．B．C．D．
3．已知两个非零向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（）
A．B．C．D．
4．如图，实心正方体 的棱长为 2，其中上、下底面的中心分别为 ．若从该正方体中挖去两个
圆锥，且其中一个圆锥以 为顶点，以正方形 的内切圆为底面，另一个圆锥以 为顶点，以正方形
的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（）
A．B．C．D．
5．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理
的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若
大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，则 （）
A．9 B．C．12 D．
6．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，b， ，若 ，则角 的值为（）．
A． B． C． 或 D． 或
7．已知圆锥的高为 3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥
的体积的比值为
A．B．C．D．
8．筒车是一种水利灌溉工具（如图 所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心
为 ，筒车的半径为 ，筒车转动的周期为 ，如图 所示，盛水桶 在 处距水面的距离为 .后盛水桶
在 处距水面的距离为 ，若 ，则直线 与水面的夹角为（）

A．B．C．D．
二．多选题（共 3小题，每题 6分，共 18 分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6分，部
分选对得 3分，有选错的得 0分。）
9．某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把1000 名参赛者的成绩（满分 100 分，成绩取整数）按 ， ，
， 分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（）
A． 的值为 0.035B．估计这组数据的众数为 90
C．估计这组数据的第 70 百分位数为 89D．估计成绩低于 80 分的有 350 人
10．已知平面向量 ， ，则（）
A．当 时， B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 与 的夹角为钝角，则
11．在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则下列结论正确的有（）
A． B．若 ，则 为直角三角形
C．若 为锐角三角形， 的最小值为 1
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围为
三．填空题（共 3小题，每题 5分，共 15 分。）
12．有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为 ，高为 ，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为 .
13．设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 为
14．如图，三棱柱 中， 底面 ， ， 是 上一动点，则
的最小值是．
四．解答题（共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（15 分）15．如图，在四棱柱 中，侧棱 平面 ABCD， ， ， ，
，E为棱 的中点，M为棱 CE 的中点．
(1)证明： ；
(2)求异面直线 BM 与AD 所成角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
（14 分）16．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直
播平台有1000 个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直
播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80 个直播商家进
行问询交流．
(1)应抽取小吃类商家多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的 80 个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得
频率直方图如图②所示．
①估计该直播平台商家平均日利润的第 75 百分位数；
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