6.4.3余弦定理、正弦定理(第1课时）（教学设计）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

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《6.4.3 余弦定理、正弦定理》
第 1 课时 余弦定理 教学设计
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教 A 版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第四
节《平面向量的应用》。以下是本节的课时安排：
6.4 平面向量的应用
课时
内容
平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 余弦定理、正弦定理
所在
位置
教材第 38 页 教材第 40 页 教材第 42 页
新教
材
内容
分析
本节的目的是让学生加深对向
量的认识，更好地体会向量这
个工具的优越性。对于向量方
法，就思路而言，几何中的向
量方法完全与几何中的代数方
法一致，不同的只是用”向量
和向量运算“来替代”数和数
的运算“。
物理学家很早就在自己的研究中
使用向量的概念，并早已发现这
些量之间可以进行某种运算。数
学家在物理家使用向量的基础
上，对向量又进行了深入研究，
使向量成为研究数学和其他科学
的有力工具。本节将举例说明向
量在解决物理问题中的应用。
余弦、正弦定理是研究任意三
角形边角之间关系的重要开
端；用余弦、正弦定理解三角
形，是典型的用代数的方法来
解决的几何问题的类型；在日
常生活和工业生产中的应用又
十分广泛
核心
素养
培养
通过对用向量法解决平面几何
问题的学习，培养学生数学抽
象、数学运算、数学建模等数
学素养.
通过实例，引导学生用向量方法
解决物理中的速度、力学问题，
培养学生的数学建模、数学运算
的核心素养。
通过对余弦定理、正弦定理的
学习，培养学生数学抽象、数
学运算、数学建模等数学素
养。
教学
主线
平面向量的线性运算、坐标表示
本节课之前学生已学习过全等三角形，三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本
节课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理思路，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。知识结构
上，学生会解直角三角形，知道锐角三角函数和勾股定理，这为用几何法证明余弦定理奠定了基础；学生
知道三角形回路可以转化为向量的加减法，向量的模与长度有关，向量的夹角与角度有关，这为向量法证
明余弦定理奠定了基础；学生还知道在平面直角坐标系中两点之间的距离公式和三角函数的定义，这为解
析法证明余弦定理奠定了基础。
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，培养数学抽象的核心素养；
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，培养数学运算的核心素养；
3.借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.
1.重点：掌握余弦定理及其推论。
2.难点：掌握余弦定理的综合应用。
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先
在地面上选一适当的位置
A
，量出
A
到山脚
B
，
C
的距离，其中
AB
＝ km，
AC
＝1
km，再利用经纬仪测出
A
对山脚
BC
(即线段
BC
)的张角∠
BAC
＝150°.
【问题 1】　我们知道勾股定理，即在Rt△
ABC
中，已知两条直角边
a
，
b
和
C
＝
90°，则
c
2＝
a
2＋
b
2.那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？
【提示】　在△
ABC
中，
c
2＝
a
2＋
b
2－2
ab
cos
C
.这个公式是余弦定理的形式之一.当
C
＝90°时，则 cos
C
＝0，将 cos
C
＝0 代入上式即是勾股定理
c
2＝
a
2＋
b
2.
【问题 2】你能通过上面的问题 1 的结论计算求出山脚的长度
BC
吗？
【提示】利用
BC
2＝
AB
2＋
AC
2－2
AB
·
AC
cos
A
可求出
BC
的长.
2.探索交流，解决问题
【探究 1】已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？
【提示】根据三角形全等的判断方法可知，这个三角形的大小、形状是完全确定的．
【探究 2】在△
ABC
中，如果已知边
a
，
b
和角
C
，那么从向量的角度考虑，边
c
的长度可视为什么？向
量AB如何用已知边所对应的向量表示？如何求出|AB|？
【提示】边
c
的长度可视为|AB|；AB＝CB－CA；通过向量的数量积求|AB|．　　　
（二）余弦定理
1.余弦定理：
文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C.
【探究 3】在△
ABC
中，已知三条边，如何求出其三个内角？
【提示】可将余弦定理中的三个公式变形为 cos
A
＝，cos
B
＝，cos
C
＝。　
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
2.解三角形
一般地，三角形的三个角 A，B，C和它们的对边 a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
【做一做】1.在△ABC 中，符合余弦定理的是(　　)
A.c2＝a2＋b2－2abcos C B.c2＝a2－b2－2bccos A
C.b2＝a2－c2－2bccos A D.cos C＝
解析：注意余弦定理形式，特别是正负号问题.
答案：A
2.在△ABC 中，a＝1，b＝1，C＝120°，则c＝________.
解析：由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝12＋12－2×1×1×＝3，
∴c＝.
答案：
3.在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.
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