4.1 数列的概念与简单的表示 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)(解析版)

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数列的概念与简单的表示
1数列的相关概念
(1)
定义：数列是按照一定次序排列的一列数；
(2)
数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；
(3)
数列的表示：数列的一般形式可以写成
a1, a2, …, an, …
，简记
{an}
.
2 数列的分类
分类标准 名称 含义 例子
按项的个数
有穷数列 项数有限的数列
1,2,3,4,… . , n
无穷数列 项数无限的数列
1,2,3,4,… , n , n+1… .
按项的大小
递增数列
2,4,8,…,2n ,…
递减数列
1,1
2,1
3, … , 1
n, …
常数列 每项都相等的数列
1,1,1, …
摆动数列 每项的大小忽大忽小的数列
1,−2,3,−4,5, …
3数列与函数的关系
数列就是定义在正整数集
N¿
(或它的有限子集
{1,2,3. ... n}
)上的函数
f(n)
，其图象是一系列有限或无限孤
立的点.
PS 日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等.
数列 an=n2
函数 y=x2
4通项公式
如果数列
{an}
的第
n
项与序号
n
之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
Eg 数列
1,0,1,0
，…，其通项公式可以是
an=1+
(
−1
)
n+1
2, an=sin2nπ
2
等.
注：
(1)an
与
{an}
是不同的概念，
{an}
表示数列
a1, a2,⋯
，而
an
表示的是数列的第
n
项；
(2)
数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；
而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.
5 递推公式
若已知数列
{an}
的第一项
a1
(或前
n
项)，且任一项
an
和它的前一项
an−1
(或前
n
项)间的关系可以用一公式表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
Eg
a1
(初始条件)，
an=2an−1+3n
(递推关系)；
a1=1,a2=2(初始条件), an=3an−1−2an−2(递推关系)
.
6
an
与
Sn
的关系
若
Sn
为数列
an
的前
n
项和，即
Sn=a1+a2+...+an.
则
an=
{
S1, n=1
Sn−Sn−1, n≥ 2
.
【题型一】对数列的相关概念的理解
【典题 1】下列有关数列的说法正确的是(　　)
① 数列
1,2,3
可以表示成
{1,2,3}
；
② 数列
−1,0,1
与数列
1,0,−1
是同一数列；
③ 数列
{1
n}
的第
k−1
项是
1
k−1
；
④ 数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解析】对于①，
{1,2,3}
是集合，不是数列，故选项①错误；
对于②，数列是有序的，故数列
−1,0,1
与数列
1,0,−1
是不同的数列，故选项②错误；
对于③，数列
{1
n}
的第
k−1
项是
1
k−1
，故选项③正确；
对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．
故选：
B
．
【点拨】注意集合与数列的在“顺序、异同性、表示方法”上的区别. 数列是有序性，集合是无序性的；
集合是互异性的，但数列不作要求.
【典题 2】 数列
{an}
为从
a0
开始的非负整数有限数列，
ai
表示在这个数列中
i
出现的次数．那么数列的项数
不可能是 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】
ai
表示在这个数列中
i
出现的次数．(理解这个是关键)
当
a0=2, a1=0, a2=2, a3=0
时，满足条件，此时数列有
4
项，故排除
A
；
当
a0=2, a1=1, a2=2, a3=0, a4=0
时，满足条件，此时数列有
5
项，故排除
B
；
当
a0=3, a1=2, a2=1, a3=1, a4=0, a5=0,a6=0
时，满足条件，此时数列有
7
项，故排除
D
；
故选：
C
．
【点拨】本题是选择题，优先考虑排除法.
【典题 3】求数列
{n
n+2}
是增减性.
【解析】方法一 作差法
an+1−an=n+1
n+3−n
n+2=2
(
n+3
) (
n+2
)
>0
，
所以
an+1>an
，故数列
{n
n+2}
是增数列.
方法二 作商法
an+1
an
=n+1
n+3∙n+2
n=n2+3n+2
n2+3n>1
，
又
∵an>0
，所以
an+1>an
，故数列
{n
n+2}
是增数列.
方法三 函数思想
an=n
n+2=1
1+2
n
，
∵f
(
x
)
=1
1+2
x
在
(0,+∞)
递增，
∴an=1
1+2
n
也是随着
n
的增大而增大，
故数列
{n
n+2}
是增数列.
或
an=n
n+2=1−2
n+2
，由
f
(
x
)
=1−2
x+2
在
(0,+∞)
递增也可得结论.
【点拨】求证数列单调性，常用方法有三：
作差法，比较
an+1−an
与
0
的大小；
作商法，比较
an+1
an
与1的大小，此时要注意
an
的正负；
视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意
n
的取值范围是正整数.
【典题 4】已知数列
{bn}
满足
bn=2λ¿
，若数列
{bn}
是单调递减数列，则实数
λ
的取值范围是 .
【解析】数列
{bn}
是单调递减数列，
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