2.3.2 两点之间的距离（教学设计）-【新教材精创】 2022-2023学年高二数学同步备课 (人教A版2019选择性 必修第一册)

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2.3.2 两点之间的距离
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教
A
版（2019）第二章《直线和圆的方程》的
第三节《直线的交点坐标与距离公式》。以下是本单元的课时安排：
第二章 直线和圆的方程
课时内容 2.1 直线的倾斜角与斜率 2.2 直线的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式
所在位置 教材第 51 页 教材第 59 页 教材第 70 页
新教材
内容
分析
直线的倾斜角与
斜率从初中所学“两点
确定一条直线”出发，
引起学生对平面直角坐
标系中的直线的几何要
素的确定，是今后学习
直线方程的必备知识。
在推导直线方程的点斜
式时，根据直线这一结
论，先猜想确定一条直
线的条件，再根据猜想
得到的条件求出直线的
方程.充分体现坐标法建
立方程的一般思路，为
后续学习圆的方程及圆
锥曲线的方程奠定基础.
围绕两直线一般方程的系数
的变化来揭示两直线方程联立解
的情况，从而判定两直线的位置
特点.“点到直线的距离”是从
初中平面几何的定性作图，过渡
到了解析几何的定量计算，为以
后直线与圆的位置关系和圆锥曲
线的进一步学习奠定了基础，具
有承前启后的重要作用．
核心素养培
养
通过直线的倾斜角和斜
率的求解，以及在人们
的生活、生产、科技中
有着广泛的实际应用，
发展学生的数学运算、
逻辑推理、直观想象、
数学建模的核心素养。
通过直线方程的求法，
发展学生数学抽象、逻
辑推理、直观想象和数
学运算的核心素养。
通过直线交点的求法，距离公式
的应用，发展学生数学抽象、逻
辑推理、直观想象和数学运算的
核心素养。
教学主线 直线的方程的应用
在学生亲身体验两点之间的距离的求法，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生
理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。
1
.
掌握平面上两点间的距离公式，提升数学运算的核心素养.
2
.
会运用坐标法证明简单的平面几何问题，培养逻辑推理的核心素养.
重点：平面上两点间的距离公式的推导与应用
难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题
（一）新知导入
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区
,
现在计划在公路上某处建一个公交站点
C,
以方便居住在两个
小区住户的出行
.
如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小?
（二）两点之间的距离
【探究1】1．已知两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，那么向量P1P2的坐标是什么？
【提示】P1P2＝(x2－x1，y2－y1)．
2．根据向量的模的计算公式，你能得到|P1P2|的公式吗？
【提示】|P1P2|＝.　
◆ (1)平面内两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
(2)两点间距离的特殊情况
① 原点O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝.
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝| x 2－ x 1|.
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝| y 2－ y 1|.
注意：公式中两点的位置没有先后之分
【做一做1】 (教材 P74 练习 1改编)已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　)
A．5 B.
C. D．4
解析：|MN|＝ ＝5.
答案：A
（三）典型例题
1.两点之间距离公式的应用
例 1.已知△
ABC
三个顶点的坐标分别为
A
(
-
3
,
1)
,B
(3
,-
3)
,C
(1
,
7)
,
试判断△
ABC
的形状
.
【解析】法一：∵|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
又|BC|＝＝，
∴AB2＋AC2＝BC2，且 AB＝AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
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