[26752056]精讲练06 垂径定理（提高）-2020-2021学年九年级数学寒假精讲练专题（沪教版）

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精讲练 06 垂径定理（提高）

【学习目标】

1．理解圆的对称性；

2．掌握垂径定理及其推论；

3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．

【要点梳理】

知识点一、垂径定理

1.垂径定理

　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：

　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

知识点二、垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.

要点诠释：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这

五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的

弦不能是直径）

【精讲例题】

类型一、应用垂径定理进行计算与证明

　1. 如图，⊙O的两条弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 AB=CD，已知 CE=1，ED=3，则⊙O的半径

是．

【答案】.

【解析】作OM AB⊥于M、ON CD⊥于N，连结 OA，

AB=CD∵，CE=1，ED=3，

OM=EN=1∴，AM=2，

OA=∴

2 2

2 +1 = 5

【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.

举一反三：

【变式 1】如图所示，⊙O 两弦 AB、CD 垂直相交于 H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O 半径．

【答案】如图所示，过点 O 分别作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，则四边形 MONH 为矩形，连结 OB，

∴

MO HN CN CH CD CH    

1 1

( ) (3 8) 3 2.5

2 2

CH DH CH      

，

1 1 1

( ) (4 6) 5

2 2 2

BM AB BH AH     

，

∴ 在 Rt△BOM 中，

2 2 55

OB BM OM  

．

【变式 2】（安岳县月考）如图，⊙O直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦 CD

长．

【答案与解析】解：过 O作OF⊥CD，交 CD 于点 F，连接 OD，

F∴为CD 的中点，即 CF=DF，

AE=2∵，EB=6，

AB=AE+EB=2+6=8∴，

OA=4∴，

OE=OA AE=4 2=2∴﹣ ﹣ ，

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