《物理同步导学人教第二册》科学思维系列——竖直平面内的圆周运动模型

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科学思维系列——竖直平面内的圆周运动模型

物体在竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一

般情况下只讨论最高点和最低点的情况．

模型 1　轻绳模型

如图所示，

细绳系的小球或在光滑轨道内侧运动的小球，在最高点时

的临界状态为只受重力，即 mg＝，则 v＝.在最高点时：

①v＝时，拉力或压力为零．

②v>时，物体受向下的拉力或压力．

③v<时，物体不能达到最高点(如图)．

即绳类的临界速度为 v临＝.

【典例 1】　

一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳

的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的

质量 m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离 l＝50 cm，g取10 m/s2.

求：

(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三

位有效数字)

(2)若在最高点水桶的速率 v＝3 m/s，求水对桶底的压力大

小．

【解析】　(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不

流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，

此时桶的速率最小．此时有：mg＝m

则所求速率即为桶的最小速率：v0＝＝ m/s≈2.24 m/s.

(2)在最高点水桶的速率 v＝3 m/s>2.24 m/s，水桶能过最高

点，

此时桶底对水有一向下的压力，设为 FN，

则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m

代入数据可得：FN＝4 N

由牛顿第三定律可得水对桶底的压力：FN′＝4 N.

【答案】　(1)2.24 m/s　(2)4 N

变式训练 1　如图所示，在竖直平面内有一半径为 R的半

圆形轨道，最高点为 P点，现让一小滑块(可视为质点)从水平地

面上向半圆形轨道运动，下列关于小滑块运动情况的分析，正

确的是(　　)

A．若 vP＝0，小滑块恰能通过 P点，且离开 P点后做自由

落体运动

B．若 vP＝0，小滑块能通过 P点，且离开 P点后做平抛运

动

C．若 vP＝，小滑块恰能到达 P点，且离开 P点后做自由

落体运动

D．若 vP＝，小滑块恰能到达 P点，且离开 P点后做平抛

运动

解析：要使物体能通过最高点，则由 mg＝m可得：vP＝，

即若速度小于，由于重力大于物体需要的向心力，物体将做

“向心”运动，物体将离开轨道，无法达到最高点，若大于等

于，则可以通过最高点做平抛运动，选项 D正确．

答案：D

变式训练 2　如图所示，游乐场翻滚过山车上的乘客常常

会在高空倒悬时吓得魂飞魄散．设想如下数据，轨道最高处离

地面 32 m，最低处几乎贴地，圆环直径 15 m，过山车经过最高

点时的速度约 18 m/s.在这样的情况下能否保证乘客的安全呢？

(g取10 m/s2)

解析：要保证乘客安全，过山车能通过最高点时的最小速

度为临界速度．

此时圆形轨道对过山车的作用力为零，重力提供向心力，

则有

mg＝，可得 v＝＝5 m/s

由5 m/s<18 m/s 可知，这种情况下过山车和人一定能安全

地通过顶点，绝对安全，不必担心．

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