第1讲 几何综合题中的“线段和差问题”-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版）

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《重点题型针对复习》第 1 讲 几何综合题的“线段和差问题”
【方法梳理】
1.“截长补短”；
2.两点注意
①有的题可以“截长”也可以“补短”，但有些题只能“截长”或只能“补短”；
②线段和差中出现倍数关系的，辅助线仍是“截长补短”，但很多时候要换个作法，比如不说延长，而说作垂线
交延长线，图相同，但由于作法不同，由辅助线导致的已知条件也不同，具体题目倒底怎么来描述辅助线，与
目的有关---辅助线之后必定要证三角形全等，哪种辅助线能为全等提供必需条件，就如此添加与描述。
【针对强化练习】
例 1.如图，在正方形 ABCD 中，点 E,F 分别为 BC,CD 的中点，则下列结论：( )
① AF⊥DE；② AF=DE；③ AD=BP；④ PE+PF=
√
2
PC.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例 2.如图，点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，连接 AM，点 E 是线段 AM 上一点，∠CDE 的平分线交 AM 延长线于点
F.
(1)如图 1，若点 E 为线段 AM 的中点，BM:CM=1:2，BE=
√
10
，求 AB 的长；
(2)如图 2，若 G 为 AE 中点，延长 DG 至 N，使 DG=NG，连接 EN，且∠EDG=∠ENG，求证：BF+DF=
√
2
AF.
1
例 3.如图 1，已知四 边形 ABCD 是矩形 ，点 E 在 BA 的延长线上 ,AE=AD,EC 与 BD 相交于点 G ，与 AD 相交于点
F，AF=AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若 AD 2,求 tanE；
（3）如图 2，连接 AG，请在下面选择 EG、 DG、 AG 三者之间的数量关系并证明.
我的选择是_________ ① EG- DG= AG；② EG-DG=
√
2
AG；③ EG-DG=
√
3
AG；
例 4．如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG（其中 BD＞2CE），BG 的延长线与直线 DE 交于点 H．
（1）如图 1，当点 G 在 CD 上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形 CEFG 绕点 C 旋转一周．
①如图 2，当点 E 在直线 CD 右侧时，求证：BH﹣DH＝
√
2
CH；
②当∠DEC＝45°时，若 AB＝3，CE＝1，请直接写出线段 DH 的长．
G
E
D
C
B
A
图2
图1
D
2
例5．如图，在等边三角形 ABC 中，点 E是边 AC 上一定点，点 D是直线 BC 上一动点，以 DE 为一边作等边三角
形DEF，连接 CF．
【问题解决】
如图 1，若点 D在边 BC 上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图 2，若点 D在边 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
例 6. 如图 1，直线 l 与圆 O 相交于 A，B 两点，AC 是圆 O 的直径，D 是圆上一点．DE⊥l 于点 E，连接 AD，且 AD 平
分∠CAE．
（1）求证：DE 是圆 O 的切线．
（2）若 DE＝3，AE＝
√
3
，求圆 O 的半径．
（3）如图 2，在（2）的条件下，点 P 是弧 AB 上一点，连接 PC，PD，PB，问：线段 PC、PD、PB 之间存在什么数量
关系？请说明理由．
O
A
B
C
E
图1
P
D
D
图2
E
C
B
A
O
3
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