专题02 三角形的证明——直角三角形（解析版）

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专题 02 三角形的证明——直角三角形

考点一直角三角形性质与判定运用

【方法点拨】

（1）有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质 1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．

性质 2：在直角三角形中，两个锐角互余．

性质 3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

性质 4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质 5：在直角三角形中，如果有一

个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°．

【典例剖析】

1．（2019 春•港南区期中）具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（　　）

A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C

C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C

【点拨】由直角三角形内角和为 180°求得三角形的每一个角，再判断形状．

【解析】解：A中∠A+∠B＝∠C，即 2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，

同理，B，C均为直角三角形，

D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即 7∠C＝180°，三个角没有 90°角，故不是直角三角形，

故选：D．

2．（2019 秋•蠡县期中）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，下列结论错误的是（　　）

A．图中有三个直角三角形 B．∠1＝∠2

C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A

【点拨】在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证

明各个选项．

【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，

∴△ACD∽△CBD∽△ABC．

A、∵图中有三个直角三角形 Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；

B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；

C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；

D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．

故选：B．

3．（2019 春•武侯区校级期中）如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是 D，则图中与∠A相等的角是

（　　）

A．∠1 B．∠2 C．∠BD．∠1、∠2和∠B

【点拨】根据直角三角形的两个锐角互余，以及同角的余角相等即可判断．

【解析】解：∵∠ACB＝90°，即∠1+ 2∠＝90°，

又∵直角△ACD 中，∠A+ 1∠＝90°，

∴∠A＝∠2．

故选：B．

4．（凉州区期末）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣

∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有　 ①②③ 　（填序号）

【点拨】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形进行分析判断．

【解析】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直

角三角形；

②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；

③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；

④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．

故能确定△ABC 是直角三角形的条件有①②③．

5．（2018 秋•诸暨市期末）在 Rt△ABC 中，∠C＝Rt∠，∠A＝70°，则∠B＝　 20° 　．

【点拨】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．

【解析】解：∵∠C＝Rt∠，∠A＝70°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝90° 70°﹣＝20°．

故答案为：20°．

6．（2018 春•涟源市期末）如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点 P是射线 ON 上一动点，当△AOP 为直角

三角形时，∠A＝　 50

或

90 　 °．

【点拨】分别从若 AP⊥ON 与若 PA⊥OA 去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得答案．

【解析】解：当 AP⊥ON 时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，

当PA⊥OA 时，∠A＝90°，

即当△AOP 为直角三角形时，∠A＝50 或90°．

故答案为：50 或90．

7．（2019 春•邵阳县期末）如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF

与∠FBC 的度数．

【点拨】在 Rt△ABF 中，∠A＝70，CE，BF 是两条高，求得∠EBF 的度数，在 Rt△BCF 中∠FBC＝40°

求得∠FBC 的度数．

【解析】解：在 Rt△ABF 中，∠A＝70，CE，BF 是两条高，

∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°，

又∵∠BCE＝30°，

∴∠ACB＝50°，

∴在 Rt△BCF 中∠FBC＝40°．

8．（莲湖区期中）如图，在△ACB 中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB 于D．

（1）求证：∠ACD＝∠B；

（2）若 AF 平分∠CAB 分别交 CD、BC 于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．

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