专题1.8三角形的证明与计算综合问题（重难点培优）-八年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】

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2020-2021 学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题 1.8 三角形的证明与计算综合（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共 20 小题）
1．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图 1，已知△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．
智慧小组的证法如下：
证明：如图 2，延长 AD 至E，使 DE＝AD，
∵AD 是BC 边上的中线
∴BD＝CD
在△BDE 和△CDA 中
{
BD=CD
∠BDE=∠CDA
DE=DA
∴△BDE≌△CDA（依据一）
∴BE＝CA
在△ABE 中，AB+BE＞AE（依据二）
∴AB+AC＞2AD．
任务一：上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指：
依据 1：　 SAS 　 ；
依据 2：　三角形任意两边之和大于第三边　．
归纳总结：上述方法是通过延长中线 AD，使 DE＝AD，构造了一对全等三角形，将 AB，AC，AD 转化
到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角
形和证明边之间的关系．
1
任务二：如图 3，AD 是BC 边上的中线，AB＝3，AC＝4，则 AD 的取值范围是　
1
2＜
AD
＜7
2
　；
任务三：如图 4，在图 3的基础上，分别以 AB 和AC 为边作等腰直角三角形，在 Rt△ABE 中，∠BAE＝
90°，AB＝AE；Rt△ACF 中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接 EF．试探究 EF 与AD 的数量关系，并说明
理由．
【分析】任务一：根据 SAS 证明△BDE≌△CDA，得出 BE＝CA，由三角形三边关系得出答案；
任务二：延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 CE，证明△ABD≌△CDE（SAS），得出 AB＝EC＝4，由
三角形三边关系可得出答案；
任务三：延长 AD 至点 M，使 DM＝AD，连接 CM，证明△ABD≌△CDM（SAS），由全等三角形的性
质得出 AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，证明△EAF≌△MCA（SAS），由全等三角形的性质得出 AM＝
EF，则可得出答案．
【解析】任务一：
证明：延长 AD 至E，使 DE＝AD，
∵AD 是BC 边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE 和△CDA 中，
{
BD=CD
∠BDE=∠CDA
DE=DA
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝CA，
在△ABE 中，AB+BE＞AE（三角形任意两边之和大于第三边），
∴AB+AC＞2AD．
故答案为：SAS，三角形任意两边之和大于第三边．
任务二：
解：如图 1，延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 CE，
∵AD 是中线，
2
∴BD＝CD，
在△ABD 和△ECD 中，
{
AD=ED
∠ADB=∠EDC
BD=CD
，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB＝EC＝4，
在△ACE 中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
∴4 3﹣＜2AD＜4+3，
∴1＜2AD＜7，
∴
1
2＜AD ＜7
2
．
故答案为：
1
2＜
AD
．
任务三：
EF 与AD 的数量关系为 EF＝2AD．
理由如下：如图 2，延长 AD 至点 M，使 DM＝AD，连接 CM，
∵AD 是中线，
∴BD＝CD，
在△ABD 和△MCD 中，
{
AD=MD
∠ADB=∠MDC
BD=CD
，
∴△ABD≌△CDM（SAS），
∴AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，
∴AE＝CM，AB∥CM，
3
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